题目

已知向量

m

=（2sin

x

2

，1），

n

=（cos

x

2

，1），设函数f（x）=

m

•

n

-1．
（1）求函数y=f（x）的值域；
（2）已知△ABC为锐角三角形，A为△ABC的内角，若f（A）=

3

5

，求f（2A-

π

3

）的值．

提问时间：2020-08-10

答案

（1）由f（x）=

m

•

n

-1，得f（x）=2sin

x

2

cos

x

2

+1-1=sinx，
所以y=f（x）的值域为[-1，1]；
（2）由已知得A为锐角，f（A）=sinA=

3

5

，
则cosA=

1-( 3 5 )2

=

4

5

，得sin2A=2sinAcosA=2×

3

5

×

4

5

=

24

25

，
cos2A=1-2sin²A=1-2×(

3

5

)2=

7

25

，
所以f（2A-

π

3

）=sin（2A-

π

3

）=sin2Acos

π

3

-cos2Asin

π

3

=

24

25

×

1

2

-

7

25

×

3

2

=

24-7 3

50

．

（1）利用向量的数量积运算可化简f（x），由f（x）的表达式特征可得函数值域；
（2）由平方关系可求得cosA，利用倍角公式可得sin2A，cos2A，然后利用差角公式可得f（2A-

π

3

）的值．

本题考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．

考点点评：本题考查三角函数的恒等变换、和差角公式、倍角公式等知识，考查向量的数量积运算，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力．