题目

这些题我有思路,但是总是在解得时候遇到许多麻烦.
是关于解三角形的
1在△ABC中,角A为锐角,则sinA+cosA的取值范围是—
sinA+cosA=√2（√2/2sinA+cosA√2/2)
=√2sin(A+π/4)
∵角A为锐角 ∴A∈（0,π/2)
当A为π/4时,此式有最大值√2
当A为0时,此式有最小值1
∴（1,√2｝
这是正确答案,我的问题是为什么当A为π/4时,此式有最大值√2
当A为0时,此式有最小值1
2在△ABC中,证明a≥bsinA
证明：a/b=sinA/sinB
sinB=bsinA/a
sinB≤1
a≥bsinA
以上是解法,请问第三步那个sinB≤1是怎么得出来的?
3在△ABC中,若acosA+bcosB=ccosC,试判断△ABC形状
∵acosA+bcosB=ccosC
∴sin2A+sin2B=sin2C
往下怎么解?
4在△ABC中,若（a²+c²-b²）tanB=√3ac,则角B的值为?
5若把一个直角三角形的三边增加同样的长度,则这个三角形的形状为?
6在△ABC中,B=60°,b²=ac,则△ABC一定是
A锐角三角形 B钝角三角形 C等腰三角形 D等边三角形
b²=a²+c²-2acx1/2
=a²+c²-ac
b²=ac
a²+c²-ac=ac
a²+c²-2ac=0
往下该怎么计算?正确结果应是a=c
7在△ABC中,已知（b+c）：（c+a)：（a+b)=4:5:6,则此三角形最大内角是?
8在△ABC中,已知a²+b²+c²=2c²（a²+b²）,则角C等于?
9在△ABC中,B=45°,AC=√10,cosC=2√5/5
（1）求BC的长?
（2）若点D是AB的中点,求中线CD的长度?
期待你精彩的回答!

提问时间：2020-08-09

答案

1.A∈(0,π/2),则T=A+π/4∈(π/4,3π/4),在(π/4,π/2)上sinT单增,在(π/2,3π/4)上sinT单减,故最大值为sin(π/2)=1; 极小值在端点处
sin(π/4)=√2/2=sin(3π/4).这里是开区间,端点值只能是极值.
2.原来你不明白sin,cos函数的值域啊?正弦,余弦值域都是[-1,1].
3.法1；acosA+bcosB=ccosC==>sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC
==> sin2A+sin2B=sin2C=sin(2π-2A-2B)=-sin(2A+2B)
==> 0=sin2A+sin2B+sin(2A+2B)=sin2A+sin2B+sin2Acos2B+sin2Bcos2A
=sin2A(1+cos2B)+sin2B(1+cos2A)=4sinAcosA(cosB)^2+4sinBcosB(cosA)^2
=4cosAcosBsin(A+B),
因sin(A+B)=sin(π-C)=sinC>0 故cosA=0或cosB=0,
==>A=π/2或B=π/2,△ABC是直角三角形.
法2；acosA+bcosB=ccosC,
a*(b^2+c^2-a^2)/2bc+b*(a^2+c^2-b^2)/2ac=c*(a^2+b^2-c^2)/2ab,
方程式各项同时乘以2abc,得到 a^4+b^4-2(ab)^2=c^4,
==> (a^2-b^2)^2=c^4,==>a^2-b^2=c^2,==> a^2=b^2+c^2,
故 角A为直角,ABC为直角三角形.
4.余弦定理,a²+c²-b²=2ac*cosB,结合已知条件得,
2ac*cosB*tanB=√3ac ==> sinB=√3/2 ==> B=π/3,or 2π/3.
5.
6.这就是完全平方展开式啊,反过来,就是配方!
a²+c²-2ac=0 即 (a-c)^2=0 ==> a-c=0 ==>a=c ==>A=C,等腰三角形,
注意!B=60度,所以ABC为等边三角形.
7.(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,==> a=7c/3,b=5c/3.知a>b>c.
最大内角为A.余弦定理,cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=-1.3 钝角 A=180-arccos(1.3) .
8.
9.作AE垂直BC于E,因为B=45°,所以BE=AE；
又 CE=AC*cosC=2√2,知 AE=sqrt(AC^2-CE^2)=√2.
故 BC=CE+BE=3√2.
由于 AB=AE/sinB=2,故BD=1.
余弦定理,CD=sqrt(BC^2+BD^2-2BC*BD*cosB)=√13.