题目

已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）设函数g（x）=f（x）-k（x-1），其中k∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最大值．

提问时间：2020-08-09

答案

（1）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f'（x）=lnx+1．…（1分）
令f'（x）≥0，得lnx≥-1=lne^-1，x≥lne−1＝

1

e

；
令f'（x）≤0，得x∈(0，

1

e

]．…（3分）
∴f（x）的单调递增区间是[

1

e

，+∞)，单调递减区间是(0，

1

e

]，
∴函数的极小值为f(

1

e

)＝−

1

e

，f（x）无极大值…（5分）
（2）g（x）=xlnx-k（x-1），则g'（x）=lnx+1-k，由g'（x）=0，得x=e^k-1，
所以，在区间（0，e^k-1）上，g（x）为递减函数，在区间（e^k-1，+∞）上，g（x）为递增函数．…（8分）
当e^k-1≤1，即k≤1时，在区间[1，e]上，g（x）为递增函数，
所以，g（x）最大值为g（e）=e-ke+k．…（10分）
当1＜e^k-1＜e，即1＜k＜2时，g（x）的最大值是g（1）或g（e）g（1）=g（e），得k＝

e

e−1

当1＜k＜

e

e−1

时，g（e）=e-ek+k＞0=g（1），g（x）最大值为g（e）=e-ke+k
当

e

e−1

≤k＜2时，g（e）=e-ek+k＜0=g（1），g（x）最大值为g（1）=0…（12分）
当e^k-1≥e，即k≥2时，在区间[1，e]上，g（x）为递减函数，
所以g（x）最大值为g（1）=0．
综上，当k＜

e

e−1

时，g（x）最大值为e-ke+k；　当k≥

e

e−1

时，g（x）的最大值是0…（14分）

（1）确定函数的定义域，利用导数，确定函数的单调性，从而可求函数的极值；
（2）利用导数，确定函数的单调性，分类讨论，确定函数的最值即可．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评：本题考查了利用导数求函数的极值，考查闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．