题目

椭圆证明题
题目中还有过焦点垂直于长轴的弦长为1,且焦点与短轴两端点构成等边三角形 （不过我认为这只是用来求椭圆方程,因为原题中要先求椭圆方程）
过Q点(,-1,0)的直线l交椭圆(x^2/4)+y^2=1于A,B两点,交直线x=-4与点E,点Q分向量AB所成比为λ,点E分向量AB所成比为μ,求证λ+μ为定值,并计算该定值.

提问时间：2020-08-08

答案

证明：设直线L的斜率为k,由点斜式可写出L的直线方程y=k(x+1)
直线L与椭圆方程联立消y得(4k²+1)x²+8k²x+(4k²-4)=0
设A(x1,y1)、B(x2,y2),对上式由韦达定理有
x1+x2= -8k²/(4k²+1)
x1x2=(4k²-4)/(4k²+1)
向量AQ=(-1-x1,-y1),向量QB=(x2+1,y2),向量AE=(-4-x1,……),向量EB=(x2+4,……)
由题意有：AQ=λQB,AE=μEB,即
(-1-x1,-y1)= λ(x2+1,y2),(-4-x1,……)=μ(x2+4,……),
从而-1-x1= λ(x2+1),-4-x1=μ(x2+4),
所以λ= -(x1+1)/(x2+1),μ= -(x1+4)/(x2+4),
所以λ+μ=[ -(x1+1)/(x2+1)]+[ -(x1+4)/(x2+4)]
= -[(x1+1)(x2+4)+(x2+1)(x1+4)]/[(x2+1)(x2+4)]
= -[2x1x2+5(x1+x2)+8]/[(x2+1)(x2+4)]
将韦达定理代入分子得
= -[2(4k²-4)/(4k²+1)-5*8k²/(4k²+1)+8]/[(x2+1)(x2+4)]
=0
故λ+μ为定值得证,这个定值为0.