题目

已知等比数列{a_n}中，a₁=64，公比q≠1，a₂，a₃，a₄又分别是某等差数列的第7项、第3项和第1项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，求数列{|b_n|}的前n项和T_n．

提问时间：2020-08-08

答案

（1）∵等比数列{a_n}中，a₁=64，公比q≠1，
a₂，a₃，a₄又分别是某等差数列的第7项、第3项和第1项，
∴a₂-a₄=3（a₃-a₄），
即2a₁q³-3a₁q²+a₁q=0，
∴2q²-3q+1=0．
∵q≠1，
∴q=

1

2

，
∴a_n=64×（

1

2

）^n-1
（2）∵a_n=64×（

1

2

）^n-1，
∴b_n=log₂a_n=log₂[64×（

1

2

）^n-1]=7-n
∴|b_n|=

7−n，n≤7 n−7，n＞7

．
当n≤7时，Tn＝

n

2

(6+7−n)=

n(13−n)

2

．
当n＞7时，T_n=T₇+

(n−7)(n−6)

2

=21+

(n−7)(n−6)

2

，
∴T_n=

n(13−n) 2 ，n≤7 21+ (n−7)(n−6) 2 ，n＞7

．

（1）由已知条件，利用等比数列和等差数列的通项公式推导出2a₁q³-3a₁q²+a₁q=0，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）和对数运算法则推导出b_n=7-n，由此能求出|b_n|的前n项和．

本题考点：数列的求和；等差数列的性质．

考点点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．