题目

已知函数f(x)=

lna+lnx

x

在[1，+∞）上为减函数，则a的取值范围为______．

提问时间：2020-08-08

答案

f′(x)=

(lna+lnx)′x-x′(lna+lnx)

x2

=

1-lna-lnx

x2

由f'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，即1-lna-lnx≤0在[1，+∞）上恒成立，
∴lnx≥ln

e

a

恒成立，
∴ln

e

a

≤0，即

e

a

≤1，
∴a≥e
故答案为：a≥e．

先求导，由函数f（x）在[1，+∞]上为减函数，转化为f′（x）≤0在[1，+∞]上恒成立问题求解．

本题考点：利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查用导数法研究函数单调性问题，基本思路是，当函数是增函数时，则f′（x）≥0在D上恒成立；当函数是减函数时，则f′（x）≤0在D上恒成立．