题目

已知不等式x²-（a+1）x+a＜0，
（1）若不等式在（1，3）上有解，求实数a的取值范围；
（2）若不等式在（1，3）上恒成立，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-08-08

答案

解法一：（1）原不等式可化为（x-1）（x-a）＜0，
当a=1时，解集为∅；当a＞1时，解集为（1，a）；当a＜1时，解集为（a，1）．
若不等式在（1，3）上有解，则a＞1；
（2）若不等式在（1，3）上恒成立，则由（1）得，（1，3）⊆（1，a），
∴a≥3．
解法二：（1）不等式x²-（a+1）x+a＜0，即x²-x-a（x-1）＜0，
∵1＜x＜3，∴a＞

x2−x

x−1

即a＞x，
若原不等式在（1，3）上有解，则a＞1，
即实数a的取值范围是（1，+∞）；
（2）由（1）知在1＜x＜3上原不等式可化为a＞x，
若不等式在（1，3）上恒成立，则a≥3，
即实数a的取值范围是[3，+∞）．