题目

求所有四位数m满足m<2006,且存在正整数n使得m-n为质数,mn是一个完全平方数.
求你快点告诉我,帮个忙.急

提问时间：2020-08-07

答案

m-n为质数推得m,n互质
即m,n没有公共因子.
那么m所分解出来的质因子的幂次必然都是偶数.
因为如果m存在奇数次幂的质因子,除非n也有奇数个这样的质因子,mn 才有可能是完全平方数,而这样势必导致m,n有公共因子.
即m也是完全平方数.又因为mn是完全平方数,所以n也是完全平方数.
可设m=a^2,n=b^2
则m-n=(a+b)(a-b).要m-n为质数,则a-b=1.
所以若设m=a^2,则m-n=2a-1.
1000<=m<2006,所以31其中a=34,36,37,40,42满足2a-1为质数
所以m=1156,1296,1369,1600,1864.