题目

设函数f(x)的定义域为自然数集,若f(x+y)=f(x)+f(y)+x对任意自然数x,y恒成立,且f(1)=1,求f(x)的解析式.

提问时间：2020-08-07

答案

f(x+y)=f(x)+f(y)+x
令x=0得f(y)=f(0)+f(y),f(0)=0
令y=1得f(x+1)=f(x)+x+1
f(x)-f(x-1)=x
f(x-1)-f(x-2)=x-1
...
f(2)-f(1)=2
累加：f(x)-f(1)=(x+2)(x-1)/2 （x>1）
f(x)=x²/2+x/2 0和1满足