题目

如图，直角△ABC中，∠C=90°，AB＝2

5

，sinB＝

5

5

，点P为边BC上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连接AP．

（1）求AC、BC的长；
（2）设PC的长为x，△ADP的面积为y．当x为何值时，y最大，并求出最大值．

提问时间：2020-08-07

答案

（1）在Rt△ABC中，sinB＝55，AB＝25，得ACAB＝55，∴AC=2，根据勾股定理得：BC=4；（3分）（2）∵PD∥AB，∴△ABC∽△DPC，∴DCPC＝ACBC＝12；设PC=x，则DC＝12x，AD＝2−12x，∴S△ADP＝12AD•PC＝12(2−12x)•x＝...

（1）在Rt△ABC中，根据∠B的正弦值及斜边AB的长，可求出AC的长，进而可由勾股定理求得BC的长；
（2）由于PD∥AB，易证得△CPD∽△CBA，根据相似三角形得出的成比例线段，可求出CD的表达式，也就求出AD的表达式，进而可以AD为底、PC为高得出△ADP的面积，即可求出关于y、x的函数关系式，根据所得函数的性质，可求出y的最大值及对应的x的值．

本题考点：二次函数的最值；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评：此题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识．