题目

一个自然数的3次方恰好有100个约数，那么这个自然数本身最少有______个约数．

提问时间：2020-08-07

答案

设这个自然数是a，则a分解质因数为：a=a1b1×a2b2×a3b3×…×anbn；则a³=a13b1×a23b2×a33b3×…×an3bn；（n为项数）
a³的约数个数为100个，根据约数和定理可得：（3b₁+1）×（3b₂+1）+（3b₃+1）×…×（3b_n+1）=100，
而100=2×2×5×5，又因为b₁、b₂、b₃…都是整数，
所以符合题意的情况有：
（1）b₁=3，b₂=3，n=2时：a的约数个数为：（3+1）×（3+1）=16（个），
（2）b₁=33，n=1时：
a的约数个数为：33+1=34（个），
答：综上所述，这个自然数本身最少有16个约数．
故答案为：16．