题目
二次函数f(x)图象的对称轴是直线x=-2且图象在y轴上的截距为1,被x轴截得的线段长为2
,求f(x).
2 |
提问时间:2020-08-07
答案
设二次函数为y=ax2+bx+c(a≠0),因为二次函数图象在y轴上的截距为1,所以c=1,
又对称轴是直线x=-2,所以−
=−2 ①
根据二次函数图象被x轴截得的线段长为2
,即方程ax2+bx+1=0的两根差的绝对值为2
,
所以由根与系数关系得|x1-x2|=
=
=2
,
所以
−
=8 ②
①②联立解得:a=
,b=2,又c=1,
所以函数f(x)=
x2+2x+1.
又对称轴是直线x=-2,所以−
b |
2a |
根据二次函数图象被x轴截得的线段长为2
2 |
2 |
所以由根与系数关系得|x1-x2|=
(x1+x2)2−4x1x2 |
(−
|
2 |
所以
b2 |
a2 |
4 |
a |
①②联立解得:a=
1 |
2 |
所以函数f(x)=
1 |
2 |
分析根据题目给出的二次函数图象在y轴上的截距为1,先求出C的值,然后根据对称轴方程及图象被x轴所截得的线段长列式求出a、b的值,则函数解析式可求.
函数解析式的求解及常用方法.
本题考查了函数解析式的求解及常用方法,考查了数学转化和方程思想,训练了运用根与系数关系求解曲线被直线所截线段长的方法.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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