题目

已知函数f（x）=

3

sin2x+cos2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

提问时间：2020-08-07

答案

（1）f（x）=

3

sin2x+cos2x=2（sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

）=2sin（2x+

π

6

）
∴T=

2π

2

=π，
当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=

π

6

+kπ，k∈Z时，函数取得最大值2．
当2x+

π

6

=2kπ-

π

2

，即x=kπ-

π

3

，k∈Z时，函数取得最小值-2．
（2）当2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

6

，k∈Z时，即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，函数单调增，
∴f（x）的单调递增区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

（1）利用两角和公式对函数解析式化简整理，利用周期公式求得最小正周期T和函数的最大和最小值．
（2）利用三角函数的图象和性质求得函数的单调增区间．

本题考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．

考点点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质．应灵活运用数形结合的思想．