题目
x大于1,y大于0 求证不等式：(x)ln x-x+e^y-xy>=0
提问时间：2020-08-07
答案
任意固定y>0,考虑函数f(x)=xlnx-x+e^y-xy,要证当x>1时f(x)>=0.
首先注意f(1)=e^y-1-y>0（利用e^y的Taylor展开易知）
以及x趋于正无穷时f(x)趋向于正无穷,
因此只要证x>1时f(x)的最小值大于等于0.
为此注意 f'(x)=lnx-y,而在最小值点必有 f'(x)=0,所以x=e^y,
计算得到 f(e^y)=e^y *y-e^y+e^y-e^y *y=0,即f(x)的最小值等于0.
首先注意f(1)=e^y-1-y>0（利用e^y的Taylor展开易知）
以及x趋于正无穷时f(x)趋向于正无穷,
因此只要证x>1时f(x)的最小值大于等于0.
为此注意 f'(x)=lnx-y,而在最小值点必有 f'(x)=0,所以x=e^y,
计算得到 f(e^y)=e^y *y-e^y+e^y-e^y *y=0,即f(x)的最小值等于0.
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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