题目
已知函数f(x)=ln(1+x)-x+
k |
2 |
提问时间:2020-08-07
答案
∵f(x)=ln(1+x)-x+
x2,x>-1
∴f′(x)=
-1+kx=
,
令g(x)=kx2+(k-1)x,k≥0,x>-1
(1)当k=0时,g(x)=-x
当-1<x<0时,g(x)>0,所以f′(x)>0,函数f(x)在(-1,0)上单调递增,
当x>0时,g(x)<0,所以f′(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,
(2)当k≠0时,g(x)=x[kx+(k-1)]
令g(x)=x[kx+(k-1)]=0,解得x=0,或x=
-1,
①当
-1<0时,即k>1时,
当
-1<0,解得k≥0,于已知矛盾,
当
-1<x<0时,g(x)<0,所以f′(x)<0,函数f(x)在(
-1,0)上单调递减,
当x>0时,g(x)>0,所以f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
②当
-1>0时,即0<k<1时,
当0<x<
-1时,g(x)<0,所以f′(x)<0,函数f(x)在(0,
-1)上单调递减,
当x>
-1时,g(x)>0,所以f′(x)>0,函数f(x)在(
-1,+∞)上单调递增,
③当k=1时,g(x)≥0,所以f′(x)>0,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,
k |
2 |
∴f′(x)=
1 |
1+x |
kx2+(k−1)x |
1+x |
令g(x)=kx2+(k-1)x,k≥0,x>-1
(1)当k=0时,g(x)=-x
当-1<x<0时,g(x)>0,所以f′(x)>0,函数f(x)在(-1,0)上单调递增,
当x>0时,g(x)<0,所以f′(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,
(2)当k≠0时,g(x)=x[kx+(k-1)]
令g(x)=x[kx+(k-1)]=0,解得x=0,或x=
1 |
k |
①当
1 |
k |
当
1 |
k |
当
1 |
k |
1 |
k |
当x>0时,g(x)>0,所以f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
②当
1 |
k |
当0<x<
1 |
k |
1 |
k |
当x>
1 |
k |
1 |
k |
③当k=1时,g(x)≥0,所以f′(x)>0,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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