题目
计算定积分I=∫(0→π)f(sinx)/[f(sinx)+f(cosx)]*dx,其中f(x)为连续函数,且f(sinx)+f(cosx)不等于0
修改一下,上下限是:(0→π/2)
修改一下,上下限是:(0→π/2)
提问时间:2020-08-07
答案
令u=π/2 -x
则x=π/2 -u
原积分=∫(π/2→0) f( sin(π/2 -u) ) / [f( sin(π/2 -u) ) + f( cos(π/2 -u) )] d(π/2 -u)
= - ∫(π/2→0) f(cosu) / [f(cosu) + f(sinu)] du
= ∫(0→π/2) f(cosu) / [f(cosu) + f(sinu)] du
积分变量的字符对积分的结果没有影响,因此
∫(0→π/2)f(sinx)/[f(sinx)+f(cosx)]*dx = ∫(0→π/2)f(cosx)/[f(sinx)+f(cosx)]*dx
则
2 ∫(0→π/2)f(sinx)/[f(sinx)+f(cosx)]*dx
=∫(0→π/2)f(sinx)/[f(sinx)+f(cosx)]*dx + ∫(0→π/2)f(cosx)/[f(sinx)+f(cosx)]*dx
=∫(0→π/2) [f(sinx)+f(cosx)] / [f(sinx)+f(cosx)] dx
=∫(0→π/2) 1 dx
= x|(0→π/2)
= π/2 - 0
= π/2
则原积分 = π/4
则x=π/2 -u
原积分=∫(π/2→0) f( sin(π/2 -u) ) / [f( sin(π/2 -u) ) + f( cos(π/2 -u) )] d(π/2 -u)
= - ∫(π/2→0) f(cosu) / [f(cosu) + f(sinu)] du
= ∫(0→π/2) f(cosu) / [f(cosu) + f(sinu)] du
积分变量的字符对积分的结果没有影响,因此
∫(0→π/2)f(sinx)/[f(sinx)+f(cosx)]*dx = ∫(0→π/2)f(cosx)/[f(sinx)+f(cosx)]*dx
则
2 ∫(0→π/2)f(sinx)/[f(sinx)+f(cosx)]*dx
=∫(0→π/2)f(sinx)/[f(sinx)+f(cosx)]*dx + ∫(0→π/2)f(cosx)/[f(sinx)+f(cosx)]*dx
=∫(0→π/2) [f(sinx)+f(cosx)] / [f(sinx)+f(cosx)] dx
=∫(0→π/2) 1 dx
= x|(0→π/2)
= π/2 - 0
= π/2
则原积分 = π/4
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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