题目

已知

a

=（sinx+2cosx，3cosx），

b

=（sinx，cosx），且f（x）=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间．

提问时间：2020-08-07

答案

（1）因为

a

=（sinx+2cosx，3cosx），

b

=（sinx，cosx），
所以，f（x）=（sinx+2cosx）sinx+3cosx•cosx
=1+sin2x+1+cos2x
=

2

sin(2x+

π

4

)+2，
所以，当2x+

π

4

＝

π

2

+2kπ，k∈Z，即x＝

π

8

+kπ，k∈Z时，
f（x）取得最大值

2

+2；
（2）由（1）由知f（x）的最小正周期是π，
由2kπ−

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，得kπ−

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
所以f（x）在[0，π]上的递增区间为[0，

π

8

]和[

5π

8

，π]
∴f（x）的最大值为

2

+2；f（x）在[0，π]上的递增区间为[0，

π

8

]和[

5π

8

，π]．

（1）通过f（x）与a，b的关系得到关于x的三角函数．并根据三角函数的图象和性质得到最值．
（2）根据（1）得到的三角函数，由图象和性质判断出单调区间，然后根据[0，π]的范围得出结果

本题考点：数量积的坐标表达式；三角函数的周期性及其求法．

考点点评：本题考查的是三角函数的运算以及求单调区间和最值问题的方法．属于中档题