题目

在数列{an}中,a1=3,an=-a(n-1)-4n(n≥2,且n∈N*),数列{an}的前n项和Sn
（1）证明：数列｛an+2n+1｝是等比数列,并求｛an｝的通项公式
（2）求Sn
要详细过程~谢谢

提问时间：2020-08-07

答案

（1）
证：
an=-a(n-1)-4n
an+2n+1=-a(n-1)-2n+1=-a(n-1)-2(n-1)-1
(an+2n+1)/[a(n-1)+2(n-1)+1]=-1,为定值.
a1+2+1=3+2+1=6
数列{an+2n+1}是以6为首项,-1为公比的等比数列.
an+2n+1=6×(-1)^(n-1)=-6×(-1)^n
an=-2n-1+6×(-1)^(n-1)=-2n-1-6×(-1)^n
(2)
Sn=a1+a2+...+an
=-2(1+2+...n)-n-6×[(-1)^1+(-1)^2+...+(-1)^n]
=-n(n+1)-n-6×(-1)×[(-1)^n-1]/(-1-1)
=-n²-2n-3×[(-1)^n-1]