题目
已知平行四边形ABCD,AD=a,AB=b,∠ABC=α.点F为线段BC上一点(端点B,C除外),连接AF,AC,连接DF,并延长DF交AB的延长线于点E,连接CE.
(1)当F为BC的中点时,求证:△EFC与△ABF的面积相等;
(2)当F为BC上任意一点时,△EFC与△ABF的面积还相等吗?说明理由.
(1)当F为BC的中点时,求证:△EFC与△ABF的面积相等;
(2)当F为BC上任意一点时,△EFC与△ABF的面积还相等吗?说明理由.
提问时间:2020-08-07
答案
(1)证明:∵点F为BC的中点,
∴BF=CF=
BC=
,
又∵BF∥AD,
∴BE=AB=b,
∴A,E两点到BC的距离相等,都为bsinα,(3分)
则S△ABF=
•
•bsinα=
absinα,
S△EFC=
•
•bsinα=
absinα,
∴S△ABF=S△EFC;(5分)
(2)
法一:当F为BC上任意一点时,
设BF=x,则FC=a-x,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴
=
,∴
=
,
∴BE=
,(7分)
在△EFC中,FC边上的高h1=BEsinα,
∴h1=
,
∴S△EFC=
FC•h1=
(a−x)•
=
bxsinα,(9分)
又在△ABF中,BF边上的高h2=bsinα,
∴S△ABF=
bxsinα,
∴S△ABF=S△EFC;(11分)
法二:∵ABCD为平行四边形,
∴S△ABC=S△CDE=
absinα,
又∵S△AFC=S△CDF,
∴S△ABC-S△AFC=S△CDE-S△CDF,
即S△ABF=S△EFC.(11分)
∴BF=CF=
1 |
2 |
a |
2 |
又∵BF∥AD,
∴BE=AB=b,
∴A,E两点到BC的距离相等,都为bsinα,(3分)
则S△ABF=
1 |
2 |
a |
2 |
1 |
4 |
S△EFC=
1 |
2 |
a |
2 |
1 |
4 |
∴S△ABF=S△EFC;(5分)
(2)
法一:当F为BC上任意一点时,
设BF=x,则FC=a-x,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴
BF |
AD |
BE |
BE+AB |
x |
a |
BE |
BE+b |
∴BE=
bx |
a−x |
在△EFC中,FC边上的高h1=BEsinα,
∴h1=
bxsinα |
a−x |
∴S△EFC=
1 |
2 |
1 |
2 |
bxsinα |
a−x |
1 |
2 |
又在△ABF中,BF边上的高h2=bsinα,
∴S△ABF=
1 |
2 |
∴S△ABF=S△EFC;(11分)
法二:∵ABCD为平行四边形,
∴S△ABC=S△CDE=
1 |
2 |
又∵S△AFC=S△CDF,
∴S△ABC-S△AFC=S△CDE-S△CDF,
即S△ABF=S△EFC.(11分)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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