题目
证明不等式1/ln2+1/ln3+1/ln4+……+1/ln(n+1)
更正:提问中的π/2应是n/2
更正:提问中的π/2应是n/2
提问时间:2020-08-07
答案
考虑函数f(x) = 2x/(x+2)-ln(1+x).
有f'(x) = 4/(x+2)²-1/(1+x) = -x²/((x+2)²(x+1)).
x > 0时, f'(x) < 0, 故f(x)严格单调递减.
有f(x) < f(0) = 0, 即得2x/(x+2) < ln(1+x).
于是对任意正整数k, 成立1/ln(1+k) < (k+2)/(2k) = 1/2+1/k.
对k从1到n求和即得1/ln(2)+1/ln(3)+...+1/ln(n+1) < n/2+1+1/2+...+1/n.
有f'(x) = 4/(x+2)²-1/(1+x) = -x²/((x+2)²(x+1)).
x > 0时, f'(x) < 0, 故f(x)严格单调递减.
有f(x) < f(0) = 0, 即得2x/(x+2) < ln(1+x).
于是对任意正整数k, 成立1/ln(1+k) < (k+2)/(2k) = 1/2+1/k.
对k从1到n求和即得1/ln(2)+1/ln(3)+...+1/ln(n+1) < n/2+1+1/2+...+1/n.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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