题目

如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，BC=4，点D、E分别在边AB、AC上，DE与BC的延长线相交于点F，且FC•FB=FE•FD．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）如果△ADE的周长与四边形BCED的周长相等，求DE的长．

提问时间：2020-08-07

答案

（1）证明：∵FC•FB=FE•FD，
∴

FC

FD

＝

AE

FB

．（1分）
∵∠F=∠F，
∴△FCE∽△FDB．（2分）
∴∠FEC=∠B．（1分）
∵∠AED=∠FEC，
∴∠AED=∠B．（1分）
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．（1分）
（2）∵△ADE∽△ACB，
∴

AD

AC

＝

AE

AB

＝

ED

BC

，（1分）
∵AB=8，AC=6，BC=4，
∴

AD

6

＝

AE

8

＝

ED

4

．
∴

AD

3

＝

AE

4

＝

ED

2

．
设AD=3k，AE=4k，ED=2k．（1分）
∵AD+AE+DE=DE+BD+BC+CE，
∴AD+AE=BD+BC+CE=

1

2

（AB+BC+AC）．（1分）
∴3k+4k＝

1

2

(8+4+6)，（1分）
∴k＝

9

7

（1分）
∴DE=2k＝

18

7

．（1分）