题目

对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b=

a，a−b≤1 b，a−b＞1

.设函数f（x）=（x²-2）⊗（x-1），x∈R.若函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（　　）
A. （-1，1]∪（2，+∞）
B. （-2，-1]∪（1，2]
C. （-∞，-2）∪（1，2]
D. [-2，-1]

提问时间：2020-08-07

答案

∵a⊗b＝

a，a−b≤1 b，a−b＞1.

，
∴函数f（x）=（x²-2）⊗（x-1）
=

x2−2，−1≤x≤2 x−1，x＜−1或x＞2

，
由图可知，当c∈（-2，-1]∪（1，2]
函数f（x） 与y=c的图象有两个公共点，
∴c的取值范围是 （-2，-1]∪（1，2]，
故选B．

根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x²-2）⊗（x-1），的解析式，并画出f（x）的图象，函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．

本题考点：函数与方程的综合运用．

考点点评：本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想．属于基础题．