题目
已知函数f(x)=cosx(根号3sinx+cosx)-1/2(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间【0,π/2】上的最大值和最小值.(2)若f(x0)=5/13,x0∈【π/4,π/2】,求cos2x0的值.
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间【0,π/2】上的最大值和最小值.(2)若f(x0)=5/13,x0∈【π/4,π/2】,求cos2x0的值.
提问时间:2020-08-07
答案
1、
f(x)=(√3/2)sin2x+(1/2)cos2x
=sin(2x+π/6)
周期T=2π/2=π
当x∈【0,π/2】时,
2x+π/6∈【π/6,7π/6】
则sin(2x+π/6)∈【-1/2,1】
所以,f(x)在区间【0,π/2】上的最大值为1,最小值为-1/2;
2、
即:sin(2x0+π/6)=5/13
x0∈【π/4,π/2】,则2x0+π/6∈【2π/3,7π/6】
所以,cos(2x0+π/6)=-12/13
cos2x0=cos[(2x0+π/6)-π/6]
=cos(2x0+π/6)cos(π/6)+sin(2x0+π/6)sin(π/6)
=(-12/13)(√3/2)+(5/13)(1/2)
=(5-12√3)/26
f(x)=(√3/2)sin2x+(1/2)cos2x
=sin(2x+π/6)
周期T=2π/2=π
当x∈【0,π/2】时,
2x+π/6∈【π/6,7π/6】
则sin(2x+π/6)∈【-1/2,1】
所以,f(x)在区间【0,π/2】上的最大值为1,最小值为-1/2;
2、
即:sin(2x0+π/6)=5/13
x0∈【π/4,π/2】,则2x0+π/6∈【2π/3,7π/6】
所以,cos(2x0+π/6)=-12/13
cos2x0=cos[(2x0+π/6)-π/6]
=cos(2x0+π/6)cos(π/6)+sin(2x0+π/6)sin(π/6)
=(-12/13)(√3/2)+(5/13)(1/2)
=(5-12√3)/26
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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