题目

已知函数f(x)＝2cosxsin(x+

π

3

)−

3

sin2x+sinxcosx
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[−

π

2

，

π

2

]时，求f（x）的单调递减区间．

提问时间：2020-08-07

答案

（Ⅰ）f(x)＝2cosx(

1

2

sinx+

3

2

cosx)−

3

sin2x+sinxcosx
=2sinxcosx+

3

(cos2x−sin2x)
=sin2x+

3

cos2x
=2sin(2x+

π

3

)
∴T=π
（Ⅱ）f（x）的减区间为2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

又∵x∈[−

π

2

，−

π

12

]，∴−

π

2

≤x≤−

5π

12

或

π

12

≤x≤

π

2

即f（x）在[−

π

2

，−

5π

12

]和在[

π

12

，

π

2

]上单调递减．

（Ⅰ）先根据两角和与差的正弦公式进行展开后合并，进而再由辅角公式化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，根据T=

2π

w

可确定最小正周期．
（Ⅱ）先根据满足f（x）的减区间求出x的范围，再结合题中x的范围确定f（x）的单调递减区间．

本题考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；反三角函数的运用．

考点点评：本题主要考查两角和与差的正弦定理和辅角公式 的应用和正弦函数的单调性．考查基础知识的综合应用．