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题目
如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AC=BC,D为⊙O中
AB
上一点,延长DA至点E,使CE=CD.

(1)求证:AE=BD;
(2)若AC⊥BC,求证:AD+BD=
2
CD.

提问时间:2020-08-07

答案
证明:(1)在△ABC中,
∵AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA,
∵∠CBA=∠CDE,(同弧上的圆周角相等),
∴∠ACB=∠ECD,
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD,
∴∠ACE=∠BCD.
在△ACE和△BCD中,
CE=CD
∠ACE=∠
AC=BC
BCD

∴△ACE≌△BCD,
∴AE=BD.
(2)的结论应该为AD+BD=
2
CD
证明:作CF⊥CD,交DA的延长线于F,作业帮
∵AC⊥BC,AC=BC,
∴O在AB上,∠CAB=∠CBA=45°,
∴∠CDA=∠CBA=45°,
∴∠F=180°-∠FCD-∠CDA=45°=∠CDA,
∴CF=CD,
∵∠FCD=∠ACB=90°,
∴∠FCA=∠BCD,
在△ACF和△BCD中
AC=BC
∠BCD=∠ACF
CF=CD

∴△ACF≌△BCD,
∴BD=AF,
∴AD+BD=AD+AF=DF,
在△DCF中,由勾股定理得:DF=
CD2+CF2
=
2
CD.
∴AD+BD=
2
CD.
(1)根据等腰三角形性质求出∠CAB=∠CBA,∠E=∠CDE,根据∠CBA=∠CDA推出∠ECD=∠BCA,推出∠ECA=∠BCD,证△AEC和△BDC全等即可.
(2)根据等腰直角三角形性质求出∠ABC=45°,根据圆周角定理求出∠DCA=∠CBA=45°,根据三角形内角和定理求出∠F=45°,推出CF=CD,根据SAS证△ACF≌△BCD,推出AF=BD,根据勾股定理求出即可.

三角形的外接圆与外心;三角形内角和定理;全等三角形的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形;圆周角定理.

本题考查了三角形的外接圆和外心,圆周角定理,三角形的内角和定理,勾股定理,等腰直角三角形性质,相似三角形的性质和判定等知识点的应用,关键是根据题意证出△ACE≌△BCD,解题思路是求出证三角形全等的三个条件,题目比较典型,综合性强.

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