题目

椭圆中心为原点,焦点在 x轴上 其上有两条斜率互为相反数的弦AB和CD 求证：A,B,C,D公园
椭圆中心为原点,焦点在 x轴上 其上有两条斜率互为相反数的弦AB和CD
求证：A,B,C,D公园
是求证：A,B,C,D四点共圆

提问时间：2020-08-07

答案

设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0) (1)
由直线AB和直线CD的斜率互为相反数,
可设直线AB的方程为kx-y+m=0 (2)
直线CD的方程为kx+y+n=0.(3)
则过直线AB和直线CD与椭圆x²/a²+y²/b²=1的四个交点A、B、C、D的曲线系方程为
(也可理解为同时满足方程(1)(2)(3)的点的集合)
(kx-y+m)(kx+y+n)+λ(b²x²+a²y²-a²b²)=0,
化简得 (λb²+k²)x²+(λa²-1)y²+(kn+km)x+(m-n)y+mn-λa²b²=0 .(4)
令λb²+k²=λa²-1,得λ=(k²+1)/(a²-b²)
此时λb²+k²=λa²-1=(a²k²+b²)/(a²-b²)≠0,
即存在λ=(k²+1)/(a²-b²),
使(4)方程为圆的方程,
所以A、B、C、D四点共圆.