题目

设函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，则ab的值为 ______．

提问时间：2020-08-07

答案

∵f（x）=x³-3ax+b，
∴f'（x）=3x²-3a，当x=2时，f'（2）=12-3a
得切线的斜率为12-3a，所以k=12-3a；
∵在点（2，f（2））处与直线y=8相切，
∴12-3a=0，a=4，
且f（2）=8，
∴2³-12×2+b=8，∴b=24，
所以ab的值为：4×24=96，
故答案为：96．

欲求ab的值，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后结合已知直线的斜率为0列式求解即可．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．