题目

已知函数f（x）=x³-3ax²-bx，其中a，b为实数，
（1）若f（x）在x=1处取得的极值为2，求a，b的值；
（2）若f（x）在区间[-1，2]上为减函数，且b=9a，求a的取值范围．

提问时间：2020-08-07

答案

（Ⅰ）由题设可知：f'（1）=0且f（1）=2，
即

3−6a−b＝0 1−3a−b＝2

，
解得a＝

4

3

，b＝−5．；
（Ⅱ）∵f'（x）=3x²-6ax-b=3x²-6ax-9a，
又f（x）在[-1，2]上为减函数，
∴f'（x）≤0对x∈[-1，2]恒成立，
即3x²-6ax-9a≤0对x∈[-1，2]恒成立，
∴f'（-1）≤0且f′（2）≤0，
即

3+6a−9a≤0 12−12a−9a≤0

⇒

a≥1 a≥ 4 7

⇒a≥1，
∴a的取值范围是a≥1．

（1）根据f（x）在x=1处取得的极值为2，可建立关于a，b的两个等式关系，解方程组即可．
（2）由f（x）在区间[-1，2]上为减函数，可转化成f'（x）≤0对x∈[-1，2]恒成立，借助二次函数的知识建立不等关系，可求出a的取值范围．

本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，属于中档题．