题目

已知（根号x +2／x）^n展开式中第五项的系数与第三项系数比是10：1,求...
已知（根号x +2／x）^n展开式中第五项的系数与第三项系数比是10：1,求展开式中含x的项, 答案是112x, 求解啊
要详细过程、

提问时间：2020-08-05

答案

解析：
由题意可知n≥4,且该二项展开式的通项为：
T(r+1)=C(n,r)*(根号x)^(n-r) *(2/x)^r=2^r *C(n,r)*x^[(n-3r)/2]
则可知第五项的系数为2^4 *C(n,4),而第三项的系数为2^2 *C(n,2)
已知第五项的系数与第三项系数比是10：1,则有：
[2^4 *C(n,4)]：[2^2 *C(n,2)]=10：1
即2C(n,4)=5C(n,2)
2n(n-1)(n-2)(n-3)/24=5n(n-1)/2
(n-2)(n-3)=30
n²-5n-24=0
(n-8)(n+3)=0
解得n=8 （n=-3不合题意,舍去）
则展开式通项可写为：
T(r+1)=2^r *C(8,r)*x^[(8- 3r)/2]
令(8- 3r)/2=1,则可得r=2
可知展开式中含x的项为第三项：
T3=2^2 *C(8,2)*x=4*28x=112x