题目

与直线x-y-4=0和圆x+y+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是?

提问时间：2020-08-05

答案

圆x^2+y^2+2x-2y=0化为标准型:(x+1)^2 + (y-1)^2 =2; 可见,其圆心为(1,1);半径为R=√2.点(1,1)到直线x-y-4=0的距离为 L=|1-1-4|/√(1^2 + 1^2)=2√2; 则与它们都相切的半径最小的圆的直径是2r=L-R=√2; 那么这个圆的半径是r=√2/2.则这个圆的圆心到直线x-y-4=0的距离为L1=|x-y-4|/√(1^2 + 1^2)=r=√2/2 →由题意得 x-y-3=0; 而过(1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为 x+y-2=0; 解由上面两个方程组成的方程组得:x=5/2; y=-1/2; 即这个圆的圆心为(5/2,-1/2) 则这个圆的方程为 (x-5/2)^2 + (y+1/2)^2 =1/2