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题目
已知三个不同的实数a,b,c满足a-b+c=3,方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一个相同的实根,方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实根.求a,b,c的值.

提问时间:2020-08-05

答案
依次将题设中所给的四个方程编号为①,②,③,④.
设x1是方程①和方程②的一个相同的实根,则
x
2
1
+ax1+1=0
x
2
1
+bx1+c=0

两式相减,可解得x1
c−1
a−b
.(5分)
设x2是方程③和方程④的一个相同的实根,则
x
2
2
+x2+a=0
x
2
2
+cx2+b=0

两式相减,可解得x 2
a−b
c−1

所以x1x2=1.(10分)
又∵方程①的两根之积等于1,于是x2也是方程①的根,
则x22+ax2+1=0.
又∵x22+x2+a=0,两式相减,得(a-1)x2=a-1.(15分)
若a=1,则方程①无实根,
所以a≠1,故x2=1.
于是a=-2,b+c=-1.又a-b+c=3,
解得b=-3,c=2.(20分)
将题设中所给的四个方程编号为①,②,③,④.设x1是方程①和方程②的一个相同的实根,x2是方程③和方程④的一个相同的实根,得到关于x1与x2的解析式,进而求出a的值,再求出b、c的值即可解答.

一元二次方程的解.

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的解.同时考查了从结论的反面思考问题的方法和代数式的变形能力.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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