题目

已知椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0) 的离心率为e,两焦点为F1、F2抛物线以F1为顶点,F2为焦点,P为两曲线的一个交点,若|PF1|/|PF2|=e,则e的值是：( )
A √3/2 B √3/3 C √2/2 D√6/3

提问时间：2020-08-04

答案

作PT垂直椭圆准线l于T
则由椭圆第二定义
PF1：PT=e
又PF1：PF2=e
故PT=PF2
由抛物线定义知l为抛物线准线
故F1到l的距离等于F2到F1的距离
即(-c)-(-a^2/c)=c-(-c)
得e=c/a=(根号3)/3
参考:
设P到椭圆左准线的距离为D,则|PF1|=eD
又因为|PF1|=e|PF2|,所以|PF2|=D,即椭圆和抛物线的准线重合,而抛物线C2以F1为顶点,以F2为焦点
所以椭圆的焦准距等于抛物线焦准距的一半,也等于椭圆自己的焦距,即a²/c -c=2c,解得a²=3c²,所以椭圆的离心率e=c/a=√3/3
这个题考虑用焦半径公式做.设P点坐标(x,y).根据椭圆的焦半径公式可得│PF1│=a+ex,│PF2│=a-ex.再根据抛物线的焦半径公式可得│PF2│=x+3c.于是可以解出 x=(a-3c)/(e+1).再由│PF1│/│PF2│=e,可得(a+ex)/(x+3c)=e,将x代入、 整理可得3ce^2+3ce-ae-a=0,两边同除a,3e^3+3e^2-e-1=0,分解因式 (3e^2-1)(e+1)=0,解得e^2=1/3.则e=√3/3 .