题目

已知椭圆x^2/4+y^2=1的焦点为f1,f2,抛物线y^2=px与椭圆在第一象限内的焦点为q,若角F1QF2=60度
求：1.三角形F1QF2的面积
2.此抛物线的方程
要详细过程

提问时间：2020-08-04

答案

a=2,b=1,c=√3,e=√3/2,│F1F2│=2√3,│F1Q│+│F2Q│=2a=4.
在三角形F1QF2中,cos60度=（│F1Q│∧2+│F2Q│∧2—│F1F2│∧2）/(2│F1Q││F2Q│)=[(│F1Q│+│F2Q│)∧2－2│F1Q││F2Q│—│F1F2│∧2]/(2│F1Q││F2Q│)=(16－2│F1Q││F2Q│－12)/(2│F1Q││F2Q│)=1/2,从而│F1Q││F2Q│=4/3.
所以S△F1QF2=1/2│F1Q││F2Q│sin60度=√3/3.
因为│F1Q│+│F2Q│=4,│F1Q││F2Q│=4/3,从而解得│F1Q│=2＋2√6/3,│F2Q│=2—2√6/3.
设Q（x,y),由焦半径公式│F1Q│=a+ex=2+√3/2x,│F2Q│=a－ex=2－√3/2x,从而得到x=4√2/3,y∧2=1－x∧2/4=1/9,不妨取y=1/3,则Q（4√2/3,1/3),因为Q点在抛物线上,所以1/9=p4√2/3,解得p=√2/24.
所以抛物线的方程为：y^2=√2/24x.