题目

已知二次函数f(x)=(4-3a)x^2-2x+a,求f(x)在区间[0,1]上的最大值

提问时间：2020-08-03

答案

f(x)是二次函数,则4-3a≠0,即a≠4/3
f(x)的对称轴为：x=1/(4-3a)
若4-3a<0,即a>4/3时,1/(4-3a)<0
函数f(x)在[0,1]上是减函数
当x=0时,f(x)有最大值f(0)=a
若4-3a>0,则1/(4-3a)>0
①1/(4-3a)≥1,即0<4-3a≤1,1≤a<4/3时
函数f(x)在[0,1]上是减函数
当x=0时,f(x)有最大值f(0)=a
②0<1/(4-3a)<1,即4-3a>1,a<1时
f(0)=a
f(1)=4-3a-2+a=2-2a
令f(1)-f(0)>0
2-2a-a>0
a<2/3
则：
当a<2/3时,f(1)>f(0),f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=2-2a
当a=2/3时,f(1)=f(0)=2/3,f(x)在区间[0,1]上的最大值是2/3
当2/3终上所述：
当a<2/3时,f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=2-2a
当a=2/3时,f(x)在区间[0,1]上的最大值是2/3
当2/34/3时,f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)=a