题目

若抛物线y=x²在点（1，1）处的切线与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率等于 ___ ．

提问时间：2020-08-03

答案

∵y=x²∴y′=2x则y′|_x=1=2
∴抛物线y=x²在点（1，1）处的切线方程为y=2x-1
∵切线与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的一条渐近线垂直，
∴双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的一条渐近线的斜率为-

1

2

则-

b

a

=-

1

2

不妨设a=2，b=1则c=

5

∴e=

c

a

=

5

2

故答案为：

5

2

先利用导数求出切线的斜率，得到切线方程，再根据互相垂直的直线的性质求出渐近线的斜率，最后根据离心率公式求出所求即可．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质．

考点点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及双曲线的简单性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．