题目

已知以F1（-2,0）,（2,0）为焦点的椭圆与直线x+√3y＋4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴为?

提问时间：2020-08-03

答案

∵a^2－b^2＝c^2＝4,∴a^2＝4＋b^2,∴椭圆方程可写成：x^2/（4＋b^2）＋y^2/b^2＝1.
由直线x＋√3y＋4＝0,得：x＝－4－√3y,代入上述椭圆方程中,得：
（－4－√3y）^2/（4＋b^2）＋y^2/b^2＝1,
∴b^2（4＋√3y）^2＋（4＋b^2）y^2＝（4＋b^2）b^2,
∴16b^2＋8√3b^2y＋3b^2y^2＋（4＋b^2）y^2－（4＋b^2）b^2＝0,
∴4（1＋b^2）y^2＋8√3b^2y＋（12－b^2）b^2＝0.
∵直线x＋√3y＋4＝0与椭圆x^2/（4＋b^2）＋y^2/b^2＝1只有一个交点,
∴方程4（1＋b^2）y^2＋8√3b^2y＋（12－b^2）b^2＝0的两根相等,∴它的判别式为0.
∴（8√3b^2）^2－4［4（1＋b^2）］［（12－b^2）b^2］＝0,
∴12b^4－（1＋b^2）（12－b^2）b^2＝0.
显然,b＞0,∴12b^2－（1＋b^2）（12－b^2）＝0,
12b^2－12＋b^2－12b^2＋b^4＝0,　∴b^4＋b^2－12＝0,　∴（b^2＋4）（b^2－3）＝0,
∴b^2＝3,进而得：a^2＝4＋b^2＝4＋3＝7,　∴a＝√7,　∴2a＝2√7.
即：满足条件的椭圆长轴长为2√7.