题目

给定两个命题p：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立；q：关于x的方程x²-x+a=0有负实数根；如果p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-08-03

答案

对于命题p：当a=0，不等式ax²+ax+1＞0变为1＞0，对任意实数x恒成立；
当a≠0时，对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立，必需

a＞0 △＝a2−4a＜0

，
解得0＜a＜4；
对于命题q：关于x的方程x²-x+a=0有负实数根，必需a＜0，
∴当a＜0时，命题Q为真命题．
∵p或q为真命题，p且q为假命题，
∴p与q必然一真一假．
若P真Q假，则

0≤a＜4 a≥0

，解得0≤a＜4
若P徦Q真，则

a≥4或a＜0 a＜0

，解得a＜0
∴实数a的取值范围是a＜4．

对于命题p：分类讨论：当a=0，直接验证；当a≠0时，对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立，必需

a＞0 △＝a2−4a＜0

，即可解得．对于命题q：关于x的方程x²-x+a=0有负实数根，必需a＜0．由于p或q为真命题，p且q为假命题，可得p与q必然一真一假．

本题考点：复合命题的真假．

考点点评：本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、一元二次方程的实数根与判别式的关系、复合命题真假判断方法，考查了推理能力，属于基础题．