题目

若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)+g(x)＝

1

ex

，则有（　　）
A. f′（x）+g（x）=0
B. f′（x）-g（x）=0
C. f（x）+g′（x）=0
D. f（x）-g′（x）=0

提问时间：2020-08-03

答案

∵函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，∴∀x∈R，f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
由x满足f(x)+g(x)＝

1

ex

，则f（-x）+g（-x）=

1

e−x

，即-f（x）+g（x）=e^x，
联立

f(x)+g(x)＝e−x −f(x)+g(x)＝ex

 解之得f（x）=

e−x−ex

2

，g（x）=

e−x+ex

2

，
于是f′(x)＝

−e−x−ex

2

，g′(x)＝

−e−x+ex

2

，∴f^′（x）+g（x）=0．
故选A．

先由已知f(x)+g(x)＝

1

ex

，及f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），可求出f（x），g（x），再求出f^′（x），g^′（x），即可判断出答案．

本题考点：导数的运算；函数奇偶性的性质．

考点点评：本题综合考查了函数的奇偶性及导数，熟练掌握它们是解决问题的关键．