题目

一道高一数学题与圆的方程有关的
已知方程x＾2+y＾2-2x-4y+m＝0
（1）若此方程表示圆,求m的取值范围；
（2)若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N点,且OM⊥ON(O为坐标原点）求m的值；
（3）在（2）的条件下,求以MN为直径的圆的方程.
请写出具体过程啦..谢谢

提问时间：2020-08-03

答案

(1)曲线C方程化为(x-1)²+(y-2)²=5-m
显然当5-m>0,即m<5时曲线C是圆.
(2)设M,N坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
把x+2y-4=0,即y=2-(x/2)代入圆C方程,得
x²+(2-x/2)²-2x-4(2-x/2)+m=0,整理得
5x²-8x+4(m-4)=0
该方程有实根,即Δ=(-8)²-4*5*4(m-4)=-16(5m-24)>0
解得m<4.8
由韦达定理得x1+x2=8/5,x1x2=4(m-4)/5
由OM⊥ON,得(x1,y1)*(x2,y2)=0(向量OM与向量ON内积为0),即
x1x2+y1y2=0,而
y1y2=(2-x1/2)(2-x2/2)=4-(x1+x2)+x1x2/4
=4-8/5+(m-4)/5=(m+8)/5,故
x1x2+y1y2=4(m-4)/5+(m+8)/5=(5m-8)/5=0
解得m=1.6<4.8,故m的值为1.6.
(3)以MN为直径,且OM⊥ON,故所求圆过原点.
M,N中点O`坐标：((x1+x2)/2,(y1+y2)/2),即(4/5,2-(4/5)/2)
亦即(4/5,8/5),此即为所求圆的圆心,O`O即为半径.
O`O²=(4/5-0)²+(8/5-0)²=16/5
故以MN为直径圆的方程为(x-4/5)²+(y-8/5)²=16/5