题目

求36°角的正切 、正弦、余弦
要带根号的,

提问时间：2020-08-03

答案

令x＝sin18°,y＝cos18°,则x^2＋y^2＝1,0由和角公式,可得：
sin36°＝sin(2·18°)＝2sin18°cos18°＝2xy
cos36°＝cos(2·18°)＝(cos18°)^2－(sin18°)^2＝y^2－x^2
sin54°＝sin(36°＋18°)＝sin36°cos18°＋cos36°sin18°＝2xy·y
＋(y^2－x^2)·x＝3xy^2－x^3
同时,sin54°＝cos(90°－54°)＝cos36°＝y^2－x^2＝1－2x^2
∴3xy^2－x^3＝y^2－x^2
代入y^2＝1－x^2,化为：4x^3－2x^2－3x＋1＝0
即：(x－1)(4x^2＋2x－1)＝0
∴x＝1(舍),x＝(-1－sqrt(5))/4(<0,舍),x＝(-1＋sqrt(5))/4
∴y＝sqrt(1－x^2)＝sqrt(10＋2sqrt(5))/4
sin36°＝2xy＝(sqrt(5)－1)·sqrt(10＋2sqrt(5))/16
cos36°＝1－2x^2＝(sqrt(5)＋1)/4
tan36°＝sin36°/cos36°＝(sqrt(5)－1)^2·sqrt(10＋2sqrt(5))/16
注：x^2表示x的平方,sqrt(x)表示x的平方根.