题目

函数f(x)=3sin(2x+5θ）的图像关于y轴对称的充要条件是θ＝____.
怎么分析的?

提问时间：2020-08-03

答案

首先要明确：关于y轴对称的函数是偶函数,即有：f(-x)=f(x) ; 关于原点中心对称的函数是奇函数,即有：f(-x)=-f(x) . 而对于三角函数的正弦函数,其周期为2*pi , 也就是说对于任何的整数k , 我们有：
f(x+2*k*pi)=f(x)
所以,对于这道题：
f(-x)=f(x)==> 3sin(-2x+5*theta)=3sin(2x+5*theta)
根据正弦的周期性,和正弦函数的特点,这里有两种可能:
-2x+5*theta=2x+5*theta+2*k*pi
或者： -2x+5*theta=pi-(2x+5*theta)+2*k*pi（注意:sin(x)=sin(pi-x)）
但是第一种可能应该舍去,因为这个条件的成立与x的取值有关,也就是只有对于特定的 x,f(-x)=f(x) 才成立,这与偶函数的定义矛盾.所以只有：
-2x+5*theta=pi-(2x+5*theta)+2*k*pi
可以得出：theta=(2*k+1)*pi/10 , 其中k为整数.