题目

高中数学!椭圆ax^2+by^2=1与直线y=1-x交于A,B,过原点与线段A,B的中点的直线的斜率为
椭圆ax^2+by^2=1与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与玄AB中点的直线的斜率为二分之根号三,则a/b的值为?
用点差法做,谢谢啦!

提问时间：2020-08-03

答案

设A(x1,y1) B(x2,y2) 则
aX1²＋by1²=1 ①
ax2²＋by2²＝1 ②
①－②得
a(X1²－x2²﹚＋b﹙y1²－y2²﹚=0
即a﹙x1＋x2﹚﹙x1－x2﹚＋b﹙y1＋y2﹚﹙y1－y2﹚＝0 ③
AB中点为横坐标为（x1＋x2）／2,纵坐标为﹙y1＋y2﹚／2
因为过原点与玄AB中点的直线的斜率为二分之根号三
所以﹙y1＋y2﹚／﹙x1＋x2﹚＝√3／2
所以y1＋y2＝√3／2﹙x1＋x2﹚ ④
而A,B在直线y=1-x上
所以﹙y2－y1﹚／﹙x2－x1﹚＝﹣1
所以y1－y2=x2－x1 ⑤
把④⑤代入③得
a﹙x1＋x2﹚﹙x1－x2﹚＋b√3／2﹙x1＋x2﹚﹙x2－x1﹚=0
即﹙x1＋x2﹚﹙x1－x2﹚﹙a－b√3／2﹚=0
因为x1＋x2≠0,x1－x2≠0
所以a－b√3／2=0
所以a／b=√3／2