题目

已知椭圆Cx^2/9+y^2/8=1的左右两个焦点分别为F1F2,过F1作一直线交椭圆C于AB两点
1 求三角形ABF2面积的最大值
2 求三角形ABF2面积取得最大值时tanF1AF2的值

（要详细过程）

提问时间：2020-08-03

答案

1. 面积最大值为16/3.


a=√9=3,b=√8=2√2,c=√(a²-b²)=1,故|F1F2|=2c=2.


过F1的直线方程为：x+1=ay（这么设是为了顾及a=0即与x轴垂直的情况）,设方程与椭圆交点A(x1,y1), B(x2,y2),显然y1和y2是异号的.


S△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2
=|F1F2|*|y1|/2 + |F1F2|*|y2|/2
=|y1|+|y2|
=|y1-y2|


(ay-1)²/9+y²/8=1,得(8a²+9)y²-16ay-64=0.


故y1+y2=16a/(8a²+9),y1y2=-64/(8a²+9).







这个64x+1/x的函数,在x=1/8时最小,然后x增加它就递增.因为a²+1>1,所以|a|递增后,分母递增,因此面积是递减的.所以a=0时（直线与x轴垂直）,面积最大,等于16/3.两个点是A(-1,8/3)和B(-1,-8/3).


2. tan F1AF2 = 3/4.


此时AF1F2是直角三角形,tan F1AF2=|F1F2|/|AF1|=2/(8/3)=3/4.