题目

已知函数f（x）=2sinxcos（

π

2

-x）-

3

sin（π+x）cosx+sin（

π

2

+x）cosx．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期和最值；
（2）指出y=f（x）图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于原点对称．

提问时间：2020-08-03

答案

（1）∵f（x）=2sinxcos（

π

2

-x）-

3

sin（π+x）cosx+sin（

π

2

+x）cosx
=2sin2x+

3

sinxcosx+cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+

3

2

=sin（2x-

π

6

）=

3

2

∴y=f（x）最小正周期T=π，y=f（x）的最大值为

3

2

+1=

5

2

，最小值为

3

2

-1=

1

2

；
（2）∵y=

3

2

+sin（2x-

π

6

）

左移 π 12 单位

y=

3

2

+sin2x

下移 3 2 单位

y=sin2x．
y=sin2x是奇函数，故图象关于原点对称．

（1）先对函数f（x）根据诱导公式和二倍角公式化简为y=Asin（wx+ρ）+b的形式，再由T=

2π

w

可求周期，最大值为A+b，最小值为-A+b．
（2）因为y=sin2x是奇函数，所以将函数f（x）平移变换成y=sin2x即可得到答案．

本题考点：三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评：本题主要考查三角函数最小正周期、最值的求法，一般先将函数化简为y=Asin（wx+ρ）+b的形式再解题．