题目

设p：函数f（x）=

ax−1

的定义域为（-∞，0]，q：关于x的不等式ax²-x+a＞0的解集为R．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求a的取值范围．

提问时间：2020-08-03

答案

由已知条件知：命题p，和q中一个为真命题，一个为假命题；
∴①若p为真命题，q为假命题：
由命题p知0＜a＜1，要使q为假命题则：1-4a²≥0，或a≤0，解得a≤

1

2

；
∴0＜a≤

1

2

；
②若p为假命题，q为真命题：
∵p为假命题；
由①知：a≤0，或a≥1     （1）；
q为真命题，则

a＞0 1−4a2＜0

，解得a＞

1

2

       （2）；
∴由（1）（2）知a≥1．
综上得a的取值范围是（0，

1

2

]∪[1，+∞）．

通过已知条件知命题p和q中一真命题，一假命题，所以分p真q假和p假q真两种情况去求a的取值范围即可．

本题考点：函数单调性的判断与证明

考点点评：考查逻辑连接词的表示符号，以及命题p∨q和p∧q真假情况的判断，指数函数的单调性，一元二次不等式的解和判别式的关系．