题目

在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y=x²+（k-5）x-（k+4）的图象交x轴于点A（x₁，0）、B（x₂，0），且（x₁+1）（x₂+1）=-8．
（1）求二次函数解析式；
（2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积．

提问时间：2020-08-02

答案

（1）由已知x₁，x₂是x²+（k-5）x-（k+4）=0的两根，
∴

x1+x2＝−(k−5) x1．x2＝−(K+4)

又∵（x₁+1）（x₂+1）=-8
∴x₁x₂+（x₁+x₂）+9=0
∴-（k+4）-（k-5）+9=0
∴k=5
∴y=x²-9为所求；
（2）由已知平移后的函数解析式为：
y=（x-2）²-9，且x=0时y=-5
∴C（0，-5），P（2，-9）
∴S_△POC=

1

2

×5×2=5．

（1）把（x₁+1）（x₂+1）=-8展开即可得到与根与系数有关的式子，让二次函数的函数值为0，结合求值即可；
（2）可根据顶点式得到平移后的解析式，求得P，C坐标，S_△POC=

1

2

×|OC|×P的横坐标的绝对值．

本题考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式．

考点点评：本题考查了二次函数值为0时，与一元二次方程根与系数的关系．讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．