题目

探究下列几何题：

（1）如图（1）所示，在△ABC中，CP⊥AB于点P，求证：AC²-BC²=AP²-BP²；
（2）如图（2）所示，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点P，猜一猜AB，BC，CD，DA之间有何数量关系，并用式子表示出来（不用证明）；
（3）如图（3）所示，在矩形ABCD中，P是其内部任意一点，试猜想AP，BP，CP，DP之间的数量关系，并给出证明．

提问时间：2020-08-02

答案

（1）证明：∵在Rt△ACP中
PC²=AC²-AP²
在Rt△BCP中，PC²=BC²-BP²
∴AC²-BC²=AP²-BP²
（2）∵AB²=AP²+PB²，BC²=BP²+CP²，CD²=CP²+DP²，AD²=DP²+AP²．
∴AB²+CD²=AD²+BC²

（3）PA²+PC²=PB²+PD²
证明：过P作EF∥AD交AB，CD于E，F，过P作MN∥AB交AD，BC于M，N
则PA²=AM²+PM²，PB²=BN²+PN²，PC²=PN²+NC²，PD²=MD²+PM²
∵AM=BN，MD=NC，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．