题目

设{a_n}为等比数例，T_n=na₁+（n-1）a₂…+2a_n-1+a_n，已知T₁=1，T₂=4，
（1）求数列{a_n}的首项和公比；
（2）求数列{T_n}的通项公式．

提问时间：2020-08-02

答案

（1）设等比数列{a_n}以比为q，则T₁=a₁，T₂=2a₁+a₂=a₁（2+q）．
∵T₁=1，T₂=4，
∴a₁=1，q=2．
（2）设S_n=a₁+a₂+…+a_n．
由（1）知a_n=2^n-1．
∴S_n=1+2+…+2^n-1
=2ⁿ-1
∴T_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n
=a₁+（a₁+a₂）+…+（a₁+a₂+…+a_n-1+a_n）
=S₁+S₂+…+S_n
=（2+1）+（2ⁿ-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2+2ⁿ+…+2ⁿ）-n
=

2−2•2n

1−2

−n
=2ⁿ⁺¹-2-n