题目

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．
（1）证明：{a_n-1}是等比数列；
（2）求数列{S_n}的通项公式．请指出n为何值时，S_n取得最小值，并说明理由．

提问时间：2020-08-02

答案

（1）∵S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．
∴S_n+1=n+1-5a_n+1-85，n∈N^*．
两式作差得a_n+1=1-5a_n+1+5a_n，即6（a_n+1-1）=5（a_n-1），即（a_n+1-1）=

5

6

（a_n-1），n∈N^*．
故{a_n-1}是等比数列
（2）由（1）S_n+1=n+1-5a_n+1-85，n∈N^*．得S_n+1=n+1-5（S_n+1-S_n）-85，n∈N^*．
得6S_n+1=n+5S_n-84，即6[S_n+1-（n+1）]=5（S_n-n）-90，
即S_n+1-（n+1）=

5

6

（S_n-n）-15
整理得S_n+1-（n+1）+90=

5

6

（S_n-n+90）
故{S_n-n+90}是一个等比数列，其公比为

5

6

，由于a₁=1-5a₁-85，得a₁=-14
故{S_n-n+90}的首项为-14-1+90=75
故S_n-n+90=75×(

5

6

)n−1，即S_n=n-90+75×(

5

6

)n−1，
由于S_n+1-S_n=1-

75

6

×(

5

6

)n−1，令S_n+1-S_n＞0，对n赋值验证知n＞15时成立，即S_n其最小值是S₁₅