题目

数列有界是它收敛的什么条件?
如题,请告诉我为什么,最好举出例子

提问时间：2020-08-02

答案

必要但不充分条件
证明：
若an→a,
那么有对所有的e>0,存在自然数N,
当n>N,时 |an-a|就是说 n>N时 a-e对于n<=N时,那N个数（有限多个）,必然有一个最大的ai,和一个最小aj的
取M=max{a+e,ai} m=min{a-e,aj}
那么M,m分别是an的上界和下界
所以an有界.
这就说明了收敛数列必有界.
但有界,不一定收敛
比如 an=(-1)^n
这个数列是这样的
-1,1,-1,1.
不收敛,但是 -1<=an<=1
是有界的.
所以
数列有界是它收敛的必要但不充分条件